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Entstehung einer Schwingung bzw. Welle

Schwingungen von gespannten Saiten, von Zungen oder Schwingungen der Luft in Hohlräumen (z.B. bei Blasinstrumenten) weisen sogenannte Eigenfrequenzen auf, denn aufgrund der Ausbreitung eines Impulses (z.B. beim Anzupfen einer Saite) entsteht eine Wellenbewegung mit Reflexionen am festen oder freien Ende. Je nach Art der Reflexion und Phasenlage der reflektierten Welle treffen Wellenberg und Wellental aufeinander, überlagern einander, verstärken sich oder löschen sich aus. Bei ausreichender oder dauernder Erregung des Vorgangs (je nach Impulsgröße und -dauer bzw. Erregerfrequenz) interferieren die Wellenbewegungen und es entsteht ein stabile Schwingung mit Schwingungsbauch (= schwingende Teilchen in starker Bewegung) und Schwingungsknoten (= Teilchen in Ruhelage).

Bei höherer Erregerfrequenz (z.B. durch Resonanz oder durch stärkeres Anblasen) verdoppelt oder verdreifacht sich die Frequenz der Schwingung und es entstehen weitere Schwingungsbäuche und - knoten, die Wellenlänge halbiert oder drittelt sich, usw. (z.B. beim Erzeugen von Naturtönen af Blasinstrumenten). Bei Saiteninstrumenten kann man durch leichtes Andrücken der Saite mit dem Finger einen Schwingungsknoten und damit die doppelte Frequenz (Oktave) erzwingen ("Flagelolett"). Ein schwingender Körper kann aber immer nur in bestimmten Frequenzverhältnissen schwingen, die dem ganzzahligen Vielfachen der Grundschwingung entsprechen, also im Verhältnis 1 : 2 : 3 : 4 usw.

Versuch: Drücke eine Taste am Klavier (möglichst tiefer Ton, z.B. Kontra-C) stumm nieder, also ohne anzuschlagen (damit die Saite ungedämpft bleibt). Schlage nun fest und kurz den dazugehörigen Oktavton (hier das große C) an, dann übernimmt die tiefere Saite per Resonanz diese Schwingung mit der gleichen Frequenz; sie schwingt also doppelt so schnell wie es eigentlich möglich wäre. Dieser Versuch gelingt auch mit der 3-fachen (Quinte), vierfachen (Doppeloktave), 5- und 6-fachen Frequenz. Die ungedämpfte - tiefe - Saite kann auf diese Weise mehrere höhere Frequenzen gleichzeitig wiedergeben, sofern diese im ganzzahligen Verhältnis zu ihr stehen, also z.B. einen Durdreiklang (d.s. die Frequenzverhältnisse = 4 : 5 : 6). Dieser Versuch beweist auch, daß eine Saite mehrere Schwingungen gleichzeitig ausführen kann, die sich zu einer neuen Schwingungsform überlagern (sofern die Frequenzen dieser Schwingungen ganzzahlige Vielfache sind). Praktisch alle Schwingungen, die von Musikinstrumenten erzeugt werden, haben eine bestimmte, von der einfachen Sinusschwingung abweichende Schwingungsform, die sich aus mehreren Teilschwingungen (mit jeweils unterschiedlichen Amplituden) zusammensetzt und die charakteristische Klangfarbe ausmacht.

Die Umkehrung des Versuchs gelingt ebenfalls: man drückt die Oktave stumm nieder und schlägt dazu den Grundton an. Durch Resonanz beginnt auch die nicht angeschlagene Saite zu schwingen, - aber natürlich nicht mit der Frequenz der erregenden Saite, sondern  mit der tiefstmöglichen Eigenfrequenz, also eine Oktave höher. Auch die nächsthöhere Quinte, Oktave usw. beginnen zu schwingen, wenn sie stumm niedergedrückt wurden. Mit Tönen, deren Frequenzen nicht zu den ganzzahligen Vielfachen gehören, funktionieren beide Versuche nicht. Drücke dazu z.B. ein Kontra-C stumm nieder und schlage ein großes Cis oder Gis (usw.) an.


Die Schwingungsform (von Tönen, Klängen, Geräuschen)

Die Sinusschwingung (als einfachste Schwingung das "Atom" der Akustik)

Die Stimmgabel schwingt vergleichsweise einfach, fast erzeugt sie einen reinen Ton, mathematisch beschreibbar durch die Sinusfunktion und daher auch Sinuston genannt, mit der Frequenz f = 440 Hertz (abgekürzt Hz, benannt nach dem Physiker Heinrich Hertz, 1857-1894).

Eine einfache Schwingung kann man mit einem schwingenden Pendel oder einem Gummiseil erzeugen und zeigen. Der reine, der Stimmgabel zugeschriebene Sinuston (siehe Abbildung) läßt sich strenggenommen nur mittels Sinusgenerator auf elektronischem Weg herstellen.

sinussinus_basic2

Sinuston der Frequenz 440 Hz, erzeugt von einem Sinusgenerator, eine mathematisch exakte Sinuskurve.

Trägt man den Verlauf einer sinusförmigen Schwingung über der Zeit auf, so erhält man einen typischen Verlauf, der eindeutig durch die Größen 

beschrieben wird. 

Aus Gründen der Handhabbarkeit wird statt der Periodendauer T die Frequenz f zur Beschreibung der Schwingungsanzahl pro Sekunde verwendet. Diese ergibt sich direkt aus dem Kehrwert der Periodendauer: 

Zur genaueren Beschreibung von Schwingungen nutzt man die Sinusfunktion, die aus dem Einheitskreis hergeleitet wird. Zunächst soll eine mathematische Beschreibung der einfachen, ungedämpften Schwingung, der sogenannten Sinusschwingung erfolgen..

siehe Abbildung: Ableitung der Sinusfunktion aus dem Einheitskreis

sinusfunktion

Eine lineare Schwingung, die sich als Projektion einer gleichmäßigen Kreisbewegung darstellen läßt, ist eine harmonische Bewegung. Die harmonische Schwingung ist eine Sinusschwingung.

Die Kreisfrequenz ω (oder Winkelfrequenz) ist der Winkel, der pro Sekunde überstrichen wird, gemessen im Bogenmaß (Bogenlänge), angegeben in 1/s. (Frequenzen immer in Hertz angeben, Kreisfrequenzen immer in 1/s)

Die von der Stimmgabel abgegebene Druckschwingung beschreibt die Formel

sinusformel
P0 bezeichnet hier die maximale Druckamplitude (in der Luft) und t die Zeit. (Δ (= delta) meint den Unterschiedsbetrag.)

Setzt man statt p (= Luftdruck) in die Formel e für Elongation (= Auslenkung eines schwingenden Körpers ein, z.B. einer Saite), dann erhält man die entsprechende Formel (wie in der obigen Abbildung)elongation


Die Obertöne / Fourier-Analyse

Aber schon der gleiche Kammerton, auf der leeren a-Saite einer Violine gestrichen, sieht wesentlich komplizierter aus. Grundfrequenz, Wellenlänge und Periodizität sind unverändert, aber die Schwingung selbst entspricht nicht mehr dem schlichten Abbild eines Sinuston.

geigenton


Kurve der leer gestrichenen a-Saite einer Violine, gestimmt auf Kammerton 440 Hz.


Tatsächlich strahlt die Violine einen Klang (im physikalischen Sinne) ab.

Hinweis: Der Physiker spricht nur dann vom Ton, wenn ihm eine Sinusschwingung zugrunde liegt. Einen musikalischen Ton mit Obertönen nennt er dagegen einen Klang. In der Musik spricht man eher von Klang, wenn man einen Zusammenklang von mehreren musikalischen Tönen (= Grundtönen) - etwa im Sinne eines Akkords - meint. Dann spricht der Physiker von Zusammenklang.

Der französische Mathematiker und Ingenieur Jean Baptiste Fourier (1768 bis 1830) konnte nachweisen, daß jeder Klang, sofern er nur periodisch ist, sich in eine endliche Reihe von reinen Sinustönen zerlegen.

Der tiefste im Klang vertretene Ton, im allgemeinen der Grundton, zeichnet verantwortlich für die Tonhöhe. Er erhält die Bezeichnung Partialton erster Ordnung. Die Frequenzen der Partialtöne höherer Ordnung, auch Obertöne genannt, sind ganze Vielfache der Frequenz des Grundtons. Ihre Amplituden p0 nehmen mit wachsender Ordnung ab, bis sie schließlich ganz verschwinden.

Dabei ist es nicht so, daß die Frequenzen der Obertöne lückenlos die Reihe der natürlichen Zahlen durchlaufen, also wenn der Grundton die Frequenz f hat, 2f, 3f, 4f, . . . nf. In manchen Klängen überwiegen die geradzahligen Vielfachen des Grundtons (z.B. Oboe), in anderen die ungeradzahligen (z.B. Klarinette im unteren Register).


Additive Klangsynthese

Wenn sich jede Schwingungsform nach Fourier in Sinusschwingungen zerlegen läßt, dann gilt auch der umgekehrte Vorgang: man kan theoretisch jede beliebige Schwingungsform durch Addition von Sinusschwingungen erzeugen, z.B. auf elektronischem Wege mit Hilfe von Sinusgeneratoren. Man spricht von der Additiven Klangsynthese. Auch durch das Zusammenschalten mehrerer Orgelpfeifen über Registerkombinationen werden neue Klangfarben gewonnen. Werden dagegen Bereiche aus dem Klangsprektrum einer obertonreichen Schwingungsform durch den Einsatz von Filtern unterdückt, also weggefiltert, dann spricht man von der Subtraktiven Klangsynthese.

resultierende

Umkehrung der Fourier-Analyse: Aufbau eines Klanges aus drei Sinustönen, aus denen er sich hier zusammensetzt, oben der Grundton mit der Frequenz f, dann zwei Obertöne mit den Frequenzen 2f und 3f.

Bei allen Instrumenten tritt in ganz bestimmten Frequenzbereichen, den sog. Formanten, eine Verstärkung der Obertöne (etwa durch Resonanzen) auf. Die Obertonverteilung und die Formanten bestimmen überwiegend den Klangcharakter und die Klangfarbe der verschiedenen Instrumente. Die Vokale beim Sprechen und Singen beruhen ebenfalls auf Formanten.

formanten

Die Formanten, Anhäufungen von Obertönen in bestimmten Frequenzbereichen. Oben die Formanten der Vokale, darunter die Formantlage von Doppelrohrblatt-Instrumenten


Geräuschen fehlt die Eigenschaft der Periodizität, ihre Frequenzanalyse führt daher auch nicht zu den harmonischen Obertonreihen musikalischer Klänge. Dies gilt für viele Schlaginstrumente, z.B. Becken oder Triangel. Manche Instrumente erzeugen eine unklare Grundtonempfindung (z.B. Pauken), sie klingen ´irgendwie´ verstimmt, wie z.B. Glocken. Hier gibt es Obertonreihen, die sowohl harmonische (also ganzzahlige Vielfache) als auch unharmonische Teiltöne enthalten.


Spektren, akustische "Steckbriefe" der instrumentalen Klangfarben

Das Ergebnis einer Frequenzanalyse läßt sich leicht darstellen. In einem Koordinatensystem mit der Frequenz in Hz auf der x-Achse und Lautstärke der Obertöne auf der y-Achse erscheint jeder Oberton eines Klangs als Linie. Auf diese Weise sind Klänge durch Linienspektren gekennzeichnet. Bei der Flöte ist zum Beispiel der Grundton d1 (288 Hz) am stärksten vertreten, am zweitstärksten die Oktave 576 Hz, gefolgt von ganzen vier schwächeren Obertönen.

Ganz allgemein gilt: Je weniger Obertöne das Linienspektrum eines Instruments aufweist, desto weicher wirkt sein Klang.

Die Kenntnis dieser Zusammenhänge hilft bei der Beurteilung von Lautsprecherboxen. Zeigt eine Box beispielsweise eine Anhebung im Frequenzbereich der Umlaute (l,2 bis l,8kHz), klingt sie näselnd verfärbt. Boxen dürften aber keine Frequenzbereiche anheben oder absenken, da sie den Klang möglichst neutral wiedergeben sollten, obwohl dieses Ziel auch mit den besten Lautsprecherboxen leider nicht ganz erreicht wird.

spektren

Linienspektren einer Flöte, einer Klarinette, einer Oboe, einer Trompete und der G-Saite einer Violine.

Als prägnantes Gegenstück dazu erweist sich das Linienspektrum der Trompete: sehr viele Obertöne, darunter zahlreiche, die stärker sind als der Grundton. Deshalb ist der Trompetenklang strahlend brillant. Sehr markant sind auch die Unterschiede zwischen den Spektren der Oboe und der Klarinette. Bei tiefen Tönen des Violoncellos und des Kontrabasses fehlt der Grundton ganz. Der Korpus dieser Instrumente ist im Verhältnis zur Wellenlänge der tiefen Frequenzen zu klein, so daß er sie durch Resonanz nicht verstärken kann.

Dennoch ordnet das Ohr dem Klang die Tonhöhe zu, die dem fehlenden Grundton entsprechen würde. Diesen 1938 von dem Holländer J.F. Schouten erstmals erklärten Effekt, der sich als aus der Hörerfahrung heraus entwickeltes Empfindungsmerkmal höherer Ordnung erklären läßt, bezeichnet die Psychoakustik als Residuum (lat. für Rest).
Der Residualton entspricht der Frequenz des Grundtons eines periodischen Klangs entspricht, obwohl der Grundton physikalisch gar nicht vorhanden ist (bzw. in einer Fourier-Analyse nicht nachgewiesen werden kann).

Das Gehör ist in der Lage aus den restlichen Teiltönen eines periodischen Klangs den Grundton zu empfinden, da sich die Frequenzverhältnisse aller beziehen auf die Grundperiode einer Schwingung beziehen. (Bei genauerer Betrachtung des Phänomens sind die Bedingungen für die Entsheung des Residualtons allerdings noch komplizierter. Die Empfindung hängt u.a. von der Tonhöhe, von der Zahl und Ordnungszahl der Teiltöne, ihrer Amplitude ab.)

Eine optische Parallele solcher Residualwahrnehmung veranschaulicht folgende Darstellung:

residualtext


Residuum - So wie das Auge die fehlenden Linien im Schriftbild ergänzt, hört das Ohr den fehlenden Grundton hinzu.


(Den Residualton nutzt der Orgelbau schon sehr viel länger. Um etwa ein teures und großräumiges 32´-Register akustisch zu ersetzen, kombiniert man häufig ein (meist) offenes 16'-Labialregister mit einem (meist gedeckten) 10 2/3'-Labialregister.)


Klangspektren sind nicht statisch. Sie verändern sich in Abhängigkeit von der Lautstärke, Tonhöhe und Spielweise. Jedes Instrument klingt ein bißchen anders und es hat entsprechend  ein typisches Klangspektrum. Dennoch können wir sehr genau die Klangfarben einer Instrumentenfamilie als ähnlich oder zusammengehörig von anderen Instrumenten unterscheiden.


Auch Geräusche lassen sich durch Spektren darstellen. Die Frequenzen liegen so eng beeinander, daß sich keine einzelnen Spektrallinien ergeben, sondern eine kontinuierliche Spektralkurve entsteht. So fördert die Analyse einer kleinen Trommel ein Geräuschspektrum zutage. Ihr läßt sich daher auch keine Tonhöhe zuordnen.

trommelspektrum

Geräuschspektrum einer kleinen Trommel

Das charakteristische Einschwingen der Klänge, Lautstärke der Teiltöne

Bei allen Musikinstrumenten löst Blasen, Zupfen, Schlagen oder Streichen den Klang aus, das heißt irgendeine Form der mechanischen Anregung, die Materie zum Schwingen bringt. Vom Zeitpunkt des Anspielens bis zum voll entwickelten quasistationären Klang gibt es eine von Instrument zu Instrument eine unterschiedliche kurze Zeitspanne der Instabilität. Die Obertöne treten nicht alle gleichzeitig in Erscheinung, sondern in einer bestimmten Reihen­folge: Während des Toneinsatzes schwingt der Klang ein.

Bei der Trompete entwickelt sich der dritte Oberton innerhalb von 40 Millisekunden (ms), der Grundton erreicht erst nach 115 ms den stabilen Zustand. Bei der Violine schwingt die Oktave am schnellsten ein, während der Grundton über 90 ms benötigt, bis er voll ausgebildet ist. Dieses Einschwingverhalten ist ein weiteres bestimmendes Element für die Klangfarbe und den Klangcharakter eines Instruments. Auf Band aufgezeichnete Dauertöne einer Oboe und einer Flöte sind bei abgeschnittenen Toneinsätzen schwerer voneinander zu unterscheiden.

 Trompetenhüllkurve

Bild: Einschwingen von Grund und Obertönen einer Trompete bei einem Grundton von 340 Hz

Der von einem Musikinstrument erzeugte Ton (physikalisch gesehen ein Klang mit verschiedenen Teiltönen) läßt sich zeitlich in drei Abschnitte unterteilen:
- den Einschwingvorgang, den stationären Zustand und den Ausschwingvorgang.

In der Einschwingphase wird der schwingende Teil des Musikinstruments angeregt, bis er seinen stationären Zustand erreicht hat, in dem sich der Ton nicht mehr (wesentlich) ändert. Dieser Zustand wird so lange aufrechterhalten, bis keine Energie mehr an das schwingende System abgegeben wird und der Ton im Ausschwingvorgang abklingt. Der stationäre Zustand wird jedoch nur von Instrumenten erreicht, die eine gleichmäßige Energiezufuhr gewährleisten, ein Beispiel dafür ist die Orgel. Bei der Tonerzeugung durch die Energie des Spielers spricht man von einem "quasi stationären Zustand", da hier Schwankungen in der Energiezufuhr unvermeidbar sind. Erhält ein System nur einen Impuls (zum Beispiel das Anschlagen einer Saite), so existieren nur der Ein- und der Ausschwingvorgang.
Neben der unterschiedlichen Intensität der Harmonischen ist der Einschwingvorgang maßgeblich an der Charakteristik eines Klanges beteiligt. Der Ausschwingvorgang ist vor allem bei Tönen von Zupf- und Schlaginstrumenten von Bedeutung, da hier der stationäre Zustand fehlt.

Im folgenden Bild ist der zeitliche Amplitudenverlauf (Hüllkurve) für jeden einzelnen Teilton (der ersten Teiltöne eines Klangspektrums) beispielhaft eingezeichnet.

3d_hüllkurve

Bild: dreidimensionale Darstellung des Hüllkurvenverlaufs der ersten 5 Teiltöne eines Klangs

Das folgende Bild zeigt  vergleichend das Einschwingverhalten von Klarinette, Saxophon und Trompete (beachte die kaum ausgepärgten geradzahligen Teiltöne der Klarinette):
Einschwingcharakteristik

Bild: Einschwingverhalten im Vergleich

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